Nội dung

Gia sư biên hòa chia sẻ phương pháp giải bài toán tích phân

Như Gia sư tại Biên Hòa Đồng Nai đã nói ở bài trước, căn bản về dạng và phương pháp giải nguyên hàm với tích phân giống nhau hoàn toàn, chỉ khác là khi ta giải một bài toán nguyên hàm sẽ cho kết quả có giá trị chạy theo một hằng số C bất kì, còn khi ta giải một bài toán tích phân vì có khoảng cực chạy nhất định nên sẽ cho một kết quả duy nhất. Như gia sư tại biên hòa đã trình bày có hai phương pháp căn bản giải bài toán nguyên hàm là phương pháp đổi biến số và phương pháp tích phân từng phần thì đó cũng là phương pháp căn bản để giải một bài toán tích phân. Nhưng sẽ có một vài điểm khác biệt nên tôi sẽ trình bày lại cụ thể như sau:

1. Phương pháp đổi biến số

Tương tự phương pháp đổi biến số trong việc tính nguyên hàm, ta có định lí sau đây.

ĐỊNH LÍ 1.

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [ a ; b ]. Giả sử hàm số x = g(t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ m ; n ] sao cho g(m) = a, g(n) = b và g(t) lớn hơn hoặc bằng a, bé hơn hoặc bằng b với mọi t thuộc đoạn [ m ; n ]. Khi đó tích phân cực chạy từ a đến b của f(x)dx sẽ có giá trị bằng tích phân cực chạy từ m đến n của hàm số f(g(t))*g’(t)dt.

Chú ý

- Nếu n < m , ta xét trên đoạn [ n ; m ].

- Trong nhiều trường hợp, ta còn sử dụng phép đổi biến số ở dạng sau :

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [ a ; b ]. Để tính tích phân cực chạy từ a đến của theo biến x của hàm số f(x), đôi khi ta chọn u = u(x) làm biến số mới, trong đó trên đoạn [ a ; b ], u(x) có đạo hàm liên tục và u(x) thuộc đoạn [ a ; b ]. Giả sử có thể viết f(x) = g(u(x))u’(x), với mọi x thuộc đoạn [ a ; b ] và g(x) liên tục trên đoạn [ a ; b ]. Khi đó, tích phân cực chạy từ a đến b theo biến x của hàm số f(x) sẽ có giá trị bằng tích phân cực chạy từ u(a) đến u(b) theo biến u của hàm số g(u).

2. Phương pháp tích phân từng phần

Tương tự phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta có định lý sau đây.

ĐỊNH LÍ

Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [ a ; b ] thì tích phân cực chạy từ a đến b theo biến x của u(x)v’(x) sẽ bằng giá trị u(a)v(a) – u(b)v(b) hiệu đi tích phân cực chạy từ a đến b theo biến x của u’(x)v(x).

Tôi là Trần Lai hiện đang là Co-Founder của Gia Sư Minh Trí. Trong blog của mình tôi chia sẻ các phương pháp học tập hiệu quả, các bài văn hay, thông tin về tác giả, tác phẩm để quý thầy cô, quý phụ huynh và các em học sinh tham khảo. Hi vọng sẽ giúp ích cho quý độc giả

Trần Lai

Các bài viết khác...